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如何理解分析中的各种正则性
方程中的正则性和实分析中的正则性是两个概念，只是它们用的词是一样的，两种不要混淆。根据你的回答，很显然你问的是方程的正则性，我个人方程的正则性性做得不多。
对于一个方程 ,我们想要得到它的“解”，什么是解？看起来这是一个傻问题，但是这是一个很微妙的问题。本科生的观念中， 是一般的古典导数算子，比如 ，而解至少是在一个二次可导的函数空间 。直接得到这个解的存在性是困难的，为什么。第一， 空间太“差”，使得这个空间和上面的算子的性质很差。比如，缺乏自反，严格凸和弱紧性。 数学家采用的方法是迂回，什么是迂回？“偏微分”这个概念就可以推广，也就是所谓的“弱导数”和“广义函数的导数”，在这个概念下，古典微分算子变成了弱的算子，这个算子的好处是即使是可测函数也可以求导，而且一旦解 是古典可导的， 那么 .这个弱算子可以作用在弱的空间 （比如，索博列夫空间）。
这个空间性质更好，上面的算子具有更丰富的性质。 特别的，如果 是一个希尔伯特空间，可以使用的性质更多。利用这些性质，我们容易得到（弱）解的存在性。但是，这个弱解 是有问题的，什么问题？第一，这个解存在的空间 不具有物理意义，太弱了。比如，我们希望使得 。这就是解的正则性（之一）。换句话说，原本的问题是我们希望得到 ,但是比起在这个狭窄的空间中找解，我们选择在更大的空间 中找到一个解，然后证明在某种条件下，这个解的确在中。
这后面一步叫做正则性，事实上正则性比存在性要难，而且如果假设解存在，然后证明了某种先验估计，解的存在性就会被证明。所以，有些人说正则性才是pde的核心问题。然后，理论上 的性质更强， 的性质也会变强。 这种特效也是一种“正则性问题”。 特别的，如果 的解足够强，弱解能否变成古典解。
pde中有一个概念叫做“最大正则性”，也就是如果 ，那么 解 能在什么样最好的空间中，它最大能保证的光滑性是什么样的？它们之间又是什么关系？解决正则性是一个很大的问题，而且解决方法很多，有来来自调和分析（Calder´on–Zygmund和Littlewood–Paley技巧）和各种比较存粹的pde技巧（de Giorgi, Nash迭代）。我觉得学习者可以按照那本黄书，不，“二阶椭圆形偏微分方程“来学习。 不需要太着急，慢慢消化。
那本书很大的问题是，所有的技巧都是”浮光掠影“，让你觉得此物只应天上有，忽然降落在凡尘，非常诧异。但是，如果你深入地学过调和分析，非线性泛函分析等工具，你会发现那种技巧是自然的，想法也是自然的。
光滑性、连续性、正则性有什么不同？
连续性只要没有断点就满足了，连续函数一可以是光滑性不好的。正则性是对光滑程度的度量，其实是一个量化指标。你可以简单理解它是光滑度。具有光滑性的函数应该不止连续，而且是可导函数。
什么叫正则性？线性代数中有正则定理？概率论与数理统计中，概率的定义有正则性。
正则性是描述函数光滑度什么叫正则性的什么叫正则性，线代中一般不提正则性什么叫正则性，楼主可否把原文发出来看一下什么叫正则性？
